讀正負還是讀加減?從一道學生錯題說起

七年級有理數運算,是從小學進入初中的第一道關卡,能夠順利學成有理數運算,無疑為整個初中階段的數學學習打下了良好的基礎,尤其是在混和運算階段,是七年級數學老師最為頭疼的階段,各類錯誤層出不窮,而對學生錯題背後的錯誤思維,必須予以糾正,否則這類思維上的錯誤,會一直伴隨整個初中階段,等出現嚴重後果再治,就來不及了。

恰逢一次校內聽課,從七年級課堂作業中,發現混和運算中還存在不少問題,尤其是運算順序的確定,在課後交流中,就討論了教學中到底如何避免這類學生錯誤。

例題

在有理數混和運算中,有一類學生錯誤經常出現,就是運算順序的確定特別是和加減運算符號相同寫法的正負號,「+-」區分不開,極易導致誤判運算順序。

很顯然,無論錯解一還是錯解二,都犯了同樣一個錯誤,運算順序顛倒,那麼,學生究竟在寫下這個過程的瞬間,腦子裡想的是什麼呢?

讓我們分析學生錯誤的原因,如果是純粹的正數之間的運算,不涉及帶分數和負數,相信錯誤率會降低很多。在混和運算中,運算順序是按先乘方,後乘除,最後算加減,有括弧先算括弧。出現順序錯誤,肯定是因為對算式中的運算理解偏差,而導致理解偏差的唯一可能,就是正負號被誤判為加減號。在錯解一中,學生想的是前面的-8和4先相加,然後再算除法,至於為什麼不先算除法,因為後面的(-2)很陌生,有括弧,但括弧中又不能算,屬於未知事物,最安全的做法是先把已知的算了,於是那一瞬間,我猜學生腦子裡想的是安全第一,這樣不會寫錯。但是這並非老師布置練習的目的,練習的目的是用運算規律,其實老師希望的是這時腦子裡想的是運算規律,而不是「會不會寫錯」。

在錯解二中,我們同樣也看到了將最後兩個帶分數先相減,這個時候的學生思維是,發現一對相反數,老師說相反數可以抵消,所以相加為0,至於相反數在什麼情況下可以抵消,沒有細看,或者說當初就沒的聽進去。這類錯誤的根源在於學習相反數的時候,對於它們和為0印象「過於深刻」,從而導致忽略了它應用的環境,即在加法運算中,兩個相反數才能互相抵消。

這兩個錯誤中,我們都發現,請犯錯的學生來讀題,都會讀錯,那這道題正確的讀法是什麼呢?

應讀作「負8加上,4除以負2乘以4又3分之1,減去4又3分之1」,請注意,剛才的讀法中,同時出現了負、加、減,它們雖然寫法相同,但實質卻不同,讀正負,我們稱之為性質稱號,讀加減,我們稱之為運算符號(叫別的也行,只要能有效區分開來),讓我們將運算符號用紅色標記出來,再來看原題:

按上述方法對各符號進行標記,以便於區分,堅持一段時間,七年級學段中,有理數混和運算的錯誤,應該會減少許多。

本題除了運算順序容易出錯外,還有一類數——帶分數的運算,在有理數混和運算中,為了避免麻煩,最好的方法就是統一將所有帶分數都轉為假分數,因為從整個初中三年運算來看,帶分數出現頻率最高的是七年級上學期,而隨著運算的深入,帶分數越來越顯得「過時」,它和「÷」號將慢慢進入遺忘角落,因此,在七年級之初,就有必須將它漸漸清理出去,老師在平時布置作業或練習時,應有意識地避開使用帶分數,改用假分數。

目前還有部分教材中的習題和練習依然採用了帶分數,這並不是強調它們的重要性,恰恰相反,是為了和小學階段進行銜接,而隨著假分數和分式的出現,它們會慢慢變得不那麼重要,因此,關於混和運算中的帶分數,除了練習熟練度,並沒有太大意義。

聽課後記:

總共兩位老師的課,都是關於有理數的混和運算,在七年級這個階段,學習習慣的培養特別重要,例如課堂練習中,必須要求在練習本上完成,最好要求把題目先抄寫一遍,然後按格式作答。抄題目的目的在於讓學生養成細讀題的習慣,至少看兩遍,認清題目中各數字和符號的意義,然後明確運算順序,再開始計算。在分步進行計算的同時,每一步完成一類計算,例如第一步判斷符號,第二步計算乘方各乘除,不參與計算的照寫。在七年級學生的思維中,對數字前的符號依然存在認知不到位的情況,總是愛把符號與數字分離開,要在課堂上不斷強化,符號也是數字的一部分,這樣在後面整式運算中,會少許多麻煩。

有理數的運算,法則理解是否透徹,可以從課堂練習中直觀感受,通過學生練習中的錯誤反饋,可以及時發現教學中的不足,從而加以改進,這個階段,對各法則不能一帶而過,採取重複訓練的方式。事實上,許多有理數的運算,大量重複訓練之後是可以達到不錯的效果,但隱患也有,並且這個隱患在七年級顯現還不明顯,但一進入八年級,開始整式乘法和因式分解後,問題便大量出現,而且還很不好糾正。

因此,七年級的基礎,必須夯紮實。